Wektory w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej
Dwa różne punkty \( A( x_{A},y_{A},z_{A}) \), \( B(x_{B},y_{B},z_{B}) \in \mathbb{R}^{3} \) wyznaczają dwa wektory:
tj. wektor o początku w punkcie \( A \) i końcu w punkcie \( B \) oraz
tj. wektor o początku w punkcie \( B \) i końcu w punkcie \( A \). Wektor \( \overrightarrow{BA} \) nazywamy wektorem przeciwnym do wektora \( \overrightarrow{AB} \)
(zob. Rys. 1 ). Zgodnie z definicją wprowadzonych poniżej działań na wektorach, suma dowolnego wektora oraz wektora do niego przeciwnego daje wektor zerowy \( \overrightarrow{0}=(0,0,0) \), tj.
Z tego powodu wektor przeciwny do wektora \( \overrightarrow{AB} \) będziemy również oznaczać jako \( - \overrightarrow{AB} \), tj.
Działania na wektorach
Definicja 1: Działania na wektorach
nazywany sumą wektorów \( \overrightarrow{v} \) i \( \overrightarrow{w} \) oraz wektor
Twierdzenie 1: Własności dodawania wektorów
- jest łączne, tj.
\( \overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}; \)
- jest przemienne, tj.
\( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}; \)
- posiada element neutralny - jest nim wektor zerowy \( \overrightarrow{0}=(0,0,0) \), tj.
\( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}; \)
- suma dowolnego wektora i wektora do niego przeciwnego daje wektor zerowy, tj.
\( \overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}. \)
Twierdzenie 2: Własności mnożenia wektora przez skalar
- \( \alpha \cdot(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})= \alpha \cdot \overrightarrow{u}+ \alpha\cdot \overrightarrow{v} \);
- \( (\alpha+\beta)\cdot \overrightarrow{u}=\alpha \cdot \overrightarrow{u}+\beta \cdot \overrightarrow{u} \);
- \( 0 \cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} \).
Długość wektora
Definicja 2: Długość wektora
Twierdzenie 3: Własności długości wektora
- \( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert =0\Leftrightarrow \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0} \);
- \( \left\Vert \alpha\cdot\overrightarrow{v}\right\Vert =\left\vert \alpha\right\vert \cdot\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \);
- \( \left\Vert \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right\Vert \leqslant \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert +\left\Vert \overrightarrow {w}\right\Vert \).
Warunek trzeci twierdzenia Własności długości wektora nazywany jest warunkiem trójkąta. Nazwę tę można uzasadnić w następujący sposób: długość każdego boku trójkąta nie przekracza sumy długości pozostałych jego boków (zob. Rys. 3 ), tzn. jeżeli wektory \( \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \) tworzą trójkąt, to:
Ta sama informacja zawarta jest w warunku (zob. Rys. 4 )
który równoważny jest warunkowi trzeciemu twierdzenia Własności długości wektora.